题目内容
【题目】如图，四边形 ABCD 为正方形，取 AB 中点O ，以 AB 为直径， O 圆心作圆．
（1）如图 1，取CD 的中点 P ，连接 BP 交⊙ O 于Q ，连接 DQ 并延长交 AB 的延长线于 E ，求证： QE 
BE AE ；
（2）如图 2，连接 CO 并延长交⊙ O 于 M 点，求tanM 的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连接AQ，AP，根据直角所对的圆周角是直角可得∠AQB=∠AQP=90°，从而证出A、Q、P、D四点共圆，再根据圆周角定理的推论可得∠DAP=∠DQP，利用SAS证出△ADP≌△BCP，推出∠EBQ=∠EQA，即可证出△EBQ∽△EQA，列出比例式变形即可证出结论；
（2）延长OA至N，使ON=OC，连接CN，根据等边对等角可得∠N=∠OCN，然后根据三角形外角的性质即可推出∠M=∠N，设OB=a，则BC=2a，利用勾股定理求出OC，从而求出ON，然后求出tanN即可得出结论．
解：（1）连接AQ，AP，
∵AB 为直径
∴∠AQB=∠AQP=90°
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠ADC=90°，AB∥CD，∠ADP=∠BCP=90°，AD=BC
∴∠ADC＋∠AQP=180°，∠EBQ=∠DPQ
∴A、Q、P、D四点共圆
∴∠DAP=∠DQP
∴∠EQA =∠EQB＋∠BQA=∠DQP＋90°=∠DAP＋90°=∠DAP＋∠ADP=∠APC
∵DP=CP，∠ADP=∠BCP=90°，AD=BC
∴△ADP≌△BCP
∴∠APD=∠BPC
∴∠APD＋∠APB=∠BPC＋∠APB
∴∠DPQ=∠APC
∴∠EBQ=∠EQA
∵∠E=∠E
∴△EBQ∽△EQA
∴
∴QE
BE AE ；
（2）延长OA至N，使ON=OC，连接CN
∴∠N=∠OCN
∴∠COB=∠N＋∠OCN=2∠ONC
∵OB=OM
∴∠M=∠OBM
∴∠COB=∠M＋∠OBM=2∠M
∴∠M=∠N
∵四边形 ABCD 为正方形，点O为AB的中点
∴BC=AB=2OB
设OB=a，则BC=2a
根据勾股定理可得OC=
∴ON=OC=
∴BN=ON＋OB=
∴tanN=
∴tanM=
阅读快车系列答案【题目】某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
（1）收集数据:从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：
甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65
乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70
（2）整理描述数据:按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x 人数 班级 | 50≤x＜60 | 60≤x＜70 | 70≤x＜80 | 80≤x＜90 | 90≤x≤100 |
甲班 | 1 | 3 | 3 | 2 | 1 |
乙班 | 2 | 1 | m | 2 | n |
在表中：m=______，n=______．
（3）分析数据:
①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
班级 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
甲班 | 72 | x | 75 |
乙班 | 72 | 70 | y |
在表中：x=______，y=______．
②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有______人．
③现从甲班指定的2名学生（1男1女），乙班指定的3名学生（2男1女）中分别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率．
