题目内容
【题目】如图1，四边形ABCD，AEFG都是正方形，E、G分别在AB、AD边上，已知AB=4．
（1）求正方形ABCD的周长；
（2）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，求证：BE=DG．
（3）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BE交DG于点H，设BH与AD的交点为M．
①求证：BH⊥DG；
②当AE=
时，求线段BH的长（精确到0.1）．
【答案】（1）16；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②5.1
【解析】
根据正方形的周长定义求解；根据正方形的性质得AB=AD，AE=AG，在根据旋转的性质得∠BAE=∠DAG=θ，然后根据“SAS”判断△BAE≌△DAG，则BE=DG；①由BAE≌△DAG得到∠ABE=∠ADG，而∠AMB=∠DMH，根据三角形内角和定理即可得到∠DHM=∠BAM=90°，则BH⊥DG；②连结GE交AD于点N，连结DE，由于正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，由AE=
可得到AN=GN=1，所以DN=4﹣1=3，然后根据勾股定理可计算出DG=
，则BE=，解着利用S△DEG=
GEND=DGHE可计算出HE=
，所以BH=BE+HE=
≈5．1．
解：（1）正方形ABCD的周长=4×4=16；
（2）∵四边形ABCD，AEFG都是正方形， ∴AB=AD，AE=AG，
∵将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°），∴∠BAE=∠DAG=θ，
在△BAE和△DAG，
，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE=DG；
（3）①证明：∵△BAE≌△DAG，∴∠ABE=∠ADG，又∵∠AMB=∠DMH，∴∠DHM=∠BAM=90°，∴BH⊥DG；
②解：连结GE交AD于点N，连结DE，如图，∵正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，
∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，
∵AE=，∴AN=GN=1， ∴DN=4﹣1=3，
在Rt△DNG中，DG=
； ∴BE=，
∵S△DEG=GEND=DGHE， ∴HE=
，
∴BH=BE+HE=
≈5.1．
