Question

【题目】如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．

（1）求证：∠CBP＝∠ADB；

（2）若OA＝4，AB＝2，求线段BP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）14

【解析】

（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据切线的性质得到∠OBC＝90°，然后利用等量代换进行证明；

（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．

（1）证明：连接OB，如图，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°，

∴∠A+∠ADB＝90°，

∵BC为切线，

∴OB⊥BC，

∴∠OBC＝90°，

∴∠OBA+∠CBP＝90°，

而OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∴∠CBP＝∠ADB；

（2）∵OP⊥AD，

∴∠POA＝90°，

∴∠P+∠A＝90°，

∴∠P＝∠D，

∴△AOP∽△ABD，

∴＝，即＝，

∴BP＝14．