题目内容
【题目】如图,在直角坐标系中,直线y=kx+1(k≠0)与双曲线y= (x>0)相交于点P(1,m).
(1)求k的值.
(2)若点Q与点P关于直线y=x对称,求点Q的坐标.
(3)若过P,Q两点的抛物线与y轴的交点为N(0, )求该抛物线的函数表达式及其对称轴.
【答案】(1) k=1.(2) 点Q(2,1). (3) 解析式:y=-x2+x+,对称轴:x=-
【解析】分析:(1)直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可;(2)连接PO,QO,PQ,作PA⊥y轴于A,QB⊥x轴于B,于是得到PA=1,OA=2,根据点Q与点P关于直线y=x成轴对称,得到直线y=x垂直平分PQ,根据线段垂直平分线的性质得到OP=OQ,根据全等三角形的性质得到QB=PA=1,OB=OA=2,于是得到结论;(3)设抛物线的函数解析式为y=ax+bx+c,把P、Q、N(0, )代入y=ax+bx+c,解方程组即可得到结论.
本题解析:
(1)把点P(1,m)代入y=,得m=2,
∴点P(1,2).
把点P(1,2)代入y=kx+1,得k=1.
(2)设点Q(a,b).
∵点Q与点P关于直线y=x对称,点P(1,2),
∴=,∴b=a-1.
∵直线y=x过原点,
∴OP=OQ,∴,
解得a1=2,a2=-1(不合题意,舍去).∴点Q(2,1).
(3)设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c.
由题意,得 解得
∴y=-x2+x+,
∴对称轴为直线x=-.
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