Question

【题目】如图，是的弦，过的中点作，垂足为，过点作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）连接，若，，求四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）204

【解析】

（1）要证明DB=DE，只要证明∠DEB=∠DBE即可；
（2）作DF⊥AB于F，连接OE．只要证明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE=，由此求出AO的长，由勾股定理可求OE的长即可解决问题．

证明：（1）∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵BD是切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD=90°，
∴∠OBE＋∠EBD=90°，
∵EC⊥OA，
∴∠CAE＋∠CEA=90°，
∵∠CEA=∠DEB，
∴∠EBD=∠BED，
∴DB=DE．
（2）作DF⊥AB于F，连接OE．

∵DB=DE，AE=EB=AB=12，
∴EF=BE=6，OE⊥AB，
在Rt△EDF中，DE=BD=10，EF=6，
∴DF=，
∵∠AOE＋∠OAB=90°，∠DEF＋∠OAB=90°，
∴∠AOE=∠DEF，
∴sin∠DEF=sin∠AOE=，

∵AE=12，
∴AO=15
∴OE=
∴四边形OADB的面积=×AB×OE＋×AB×DF=204．