Question

如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A₁B₁C₁的顶点A₁与点P重合，第二个△A₂B₂C₂的顶点A₂是B₁C₁与PQ的交点，…，最后一个△A_nB_nC_n的顶点B_n、C_n在圆上．

（1）如图1，当n=1时，求正三角形的边长a₁；
（2）如图2，当n=2时，求正三角形的边长a₂；
（3）如题图，求正三角形的边长a_n（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析：（1）设PQ与B₁C₁交于点D，连接B₁O，得出OD=A₁D-OA₁，用含a₁的代数式表示OD，在△OB₁D中，根据勾股定理求出正三角形的边长a₁；
（2）设PQ与B₂C₂交于点E，连接B₂O，得出OE=A₁E-OA₁，用含a₂的代数式表示OE，在△OB₂E中，根据勾股定理求出正三角形的边长a₂；
（3）设PQ与B_nC_n交于点F，连接B_nO，得出OF=A₁F-OA₁，用含a_n的代数式表示OF，在△OB_nF中，根据勾股定理求出正三角形的边长a_n．

解答：解：（1）设PQ与B₁C₁交于点D，连接B₁O．
∵△PB₁C₁是等边三角形，
∴A₁D=PB₁•sin∠PB₁C₁=a₁•sin60°=

3

2

a₁，
∴OD=A₁D-OA₁=

3

2

a₁-1，
在△OB₁D中，OB₁²=B₁D²+OD²，
∴OD=A₁D-OA₁=

3

2

a₁-1，
即1²=（

1

2

a₁）²+（

3

2

a₁-1）²，
解得a₁=

3

；

（2）设PQ与B₂C₂交于点E，连接B₂O．
∵△A₂B₂C₂是等边三角形，
∴A₂E=A₂B₂•sin∠A₂B₂C₂=a₂•sin60°=

3

2

a₂，
∵△PB₁C₁是与△A₂B₂C₂边长相等的正三角形，
∴PA₂=A₂E=

3

2

a₂，
OE=A₁E-OA₁=

3

a₂-1，
在△OB₂E中，OB₂²=B₂E²+OE²，
即1²=（

1

2

a₂）²+（

3

a₂-1）²，
解得a₂=

8 3

13

；

（3）设PQ与B_nC_n交于点F，连接B_nO，
得出OF=A₁F-OA₁=

3

2

na_n-1，
同理，在△OB_nF中，OB_n²=B_nF²+OF²，
即1²=（

1

2

a_n）²+（

3

2

na_n-1）²，
解得a_n=

4 3 n

3n2+1

．

点评：主要考查了等边三角形的性质，勾股定理等知识点．本题中（1）（2）是特殊情况，注意在证明过程中抓住不变条件，从而为证明（3）提供思路和方法．本题综合性强，难度大，有利于培养学生分析、解决问题的能力．