题目内容
【题目】如图，已知抛物线
与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且
，
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求
面积的最大值；
（3）在（2）中面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）4；（3）存在，Q的坐标为
或
【解析】
根据题意将
、
的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
由题意设点M的坐标为
，则点
，
，即可求解；
由题意和如图所示可知，
，在
中，
，
，
，进行分析计算即可求解．
解：将、的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：
，
则抛物线的解析式为：；
过点M作y轴的平行线，交直线BC于点K，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：
得：
，解得：
，
则直线BC的表达式为：
，
设点M的坐标为，则点，
，
，
有最大值，
当
时，
最大值为4，
点M的坐标为
；
如图所示，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N，
过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H，
点M坐标为，设：点Q坐标为
，
点A、C的坐标为
、
，
，
轴，
，
，则
，
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：
得：
，
则直线AC的表达式为：
，
则点
，
在中，，，
，
解得：
或
，
即点Q的坐标为或．
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