题目内容

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B（5，0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60度．
（1）求点D，B所在直线的函数表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（0°＜α＜30°后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交边DC于点E，射线MC1交边CB于点F，设DE=m，BF=n．求m与n的函数关系式．
（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．
在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°，
∴DA=OD•sin∠DOB=
3
，
OA=OD•cos∠DOB=1，
∴点D的坐标为（1，
3
），
设直线DB的函数表达式为y=kx+b，
由B（5，0），D（1，
3
），得
0=5k+b
3
=k+b
，
解得
k=-
3
4
b=
5
4
3
，
∴直线DB的函数表达式为y=-
3
4
x+
5
4
3
；

（2）∵∠DMC=∠DOB=60°，
∴∠ODM+∠DMO=120°，∠DMO+∠CMB=120°，
∴∠ODM=∠CMB，
∵等腰梯形OBCD的∠DOB=∠CBO，
∴△ODM∽△BMC，
∴
OD
BM
=
OM
BC
=
DM
MC
，
∴OD•BC=BM•OM，
∵B点为（5，0），
∴OB=5．
设OM=x，则BM=5-x
∵OD=BC=2，
∴2×2=x（5-x），
解得x1=1，x2=4，
∴M点坐标为（1，0）或（4，0）；

（3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图1，
OM=1，BM=4．
∵DC∥OB，
∴∠MDE=∠DMO，
又∵∠DMO=∠MCB，
∴∠MDE=∠MCB，
∵∠DME=∠CMF=α，
∴△DME∽△CMF，
∴
DE
CF
=
DM
CM
=
OD
BM
=
2
4
=
1
2
，
∴CF=2DE，
∵CF=2-n，DE=m，
∴2-n=2m，即m=1-
n
2
；
（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，如图2
OM=4，BM=1．
同（Ⅰ），可得△DME∽△CMF，
∴
DE
CF
=
DM
CM
=
OD
BM
=
2
1
=2，
∴DE=2CF，
∵CF=2-n，DE=m，
∴m=2（2-n），即m=4-2n．
综上所述，m与n的函数关系式为：m=1-
n
2
或m=4-2n．
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k
3
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1
3
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