题目内容

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，∠ABC=30°，以BC所在直线为x轴，以BC边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求直线AC的解析式；
（2）有一动点P以1cm/s的速度从点B开始沿x轴向其正方向运动，设点P的运动为t秒（单位：s）．①当t为何值时，△ABP是直角三角形；②现有另一点Q与点P同时从点B开始，以1cm/s的速度从点B开始沿折线BAC运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．试写出△BPQ的面积S关于t的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（1）∵AB=AC=10cm，∠ABC=30°，
∴OA=5cm，BO=CO=5
3
cm，
∴点A的坐标为（0，5），点C的坐标为（5
3
，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点A、点C的坐标代入可得：
5
3
k+b=0
b=5
，
解得：
k=-
3
3
b=5

故直线AC的解析式为：y=-
3
3
x+5；
（2）

①当∠APB=90°时，点P与点O重合时，此时BP=5
3
，
即可得t=5
3
；
当∠BAP=90°时，点P位于P1处，
此时BP1=
AB
cos∠ABO
=
20
3
3
，
即可得t=
20
3
3
．
综上可得当t=5
3
或
20
3
3
时，△ABP为直角三角形．
②当点Q位于AB段时，0＜t＜10，

过点Q作QD⊥OB于点D，BQ=t，BP=t，∠ABO=30°，
则QD=
1
2
BQ=
1
2
t
此时S△BPQ=
1
2
BP×QD=
1
2
t×
1
2
t=
1
4
t2；
当点Q位于AC段时，10≤t＜20，

此时BP=t，CQ=20-t，∠ACO=30°，
则QD=
1
2
CQ=
1
2
（20-t）=10-
1
2
t，
S△BPQ=
1
2
BP×QD=
1
2
t×（10-
1
2
t）=-
1
4
t2+5t．
练习册系列答案
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27
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