Question

如图，直线y=

k

3

x-k分别与y轴、x轴相交于点A，点B，且AB=5，一个圆心在坐标原点，半径为1的圆，以0.8个单位/秒的速度向y轴正方向运动，设此动圆圆心离开坐标原点的时间为t（t≥0）（秒）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，t为何值时，动圆与直线AB相切；
（3）如图2，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以1个单位/秒的速度运动，设t秒时点P到动圆圆心C的距离为s，求s与t的关系式；
（4）在（3）中，动点P自刚接触圆面起，经多长时间后离开了圆面？

Answer 1

（1）由

k

3

x-k=0，k≠0，得x=3，
∴B点坐标为（3，0），
∵AB=5，
∴A点坐标为（0，4），
∴直线AB的解析式为y=-

4

3

x+4；

（2）设t秒时圆与AB相切，此时圆心为C₁或C₂，切点为D₁，D₂，如图所示，连接C₁D₁，C₂D₂，
由△AC₁D₁∽△ABO，得

AC1

AB

=

C1D1

OB

，
即：

4-0.8t

5

=

1

3

，
∴t=

35

12

，
同理由△AC₂D₂∽△ABO，
可求得t=

85

12

，
∴当t=

35

12

秒或

85

12

秒时，圆与直线AB相切；

（3）如图2，①当t=0时，s=3，
②当0＜t＜5时，设t秒时动圆圆心为C，连接PC．

OC

BP

=

0.8t

t

=

4

5

=

AO

AB

，
∴PC∥OB，
∴

PC

OB

=

AC

AO

，即

s

3

=

4-0.8t

4

，
∴s=-

3

5

t+3，
③当t=5时，s=0，
④当t＞5时，设动圆圆心为C₁，动点P在P₁处，连接C₁P₁．
由②同理可知P₁C₁∥OB．
∴

s

3

=

0.8t-4

4

，即s=

3

5

t-3，
又当t=0或5时，②中s=3或0，
所以综上所述：
当0≤t≤5时，s=-

3

5

t+3；
当t＞5时，s=

3

5

t-3；

（4）当动点P与圆面刚接触时，或刚离开时，s=1，
当s=1时，由s=-

3

5

t+3，代入得t=

10

3

；
由s=

3

5

t-3，代入得t=

20

3

．

20

3

-

10

3

=

10

3

（秒），
∴动点P自刚接触圆面起，经

10

3

秒后离开了圆面．