Question

【题目】如图1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；

（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，∠BAC=90°，AB=25，AC=35．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？（直接写出答案）

Answer 1

【答案】(1)BD+ CE = DE； (2)成立；（3）点P运动10或12秒.

【解析】试题分析：（1）)BD+ CE = DE，根据∠BDA=∠CEA=90°，证得∠EAC=∠ABD，利用AAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE；

（2）成立，利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，进而证得△ADB≌△CEA，即可得出答案．

（3）根据三角形的面积公式即可求得；

（4）易证∠PFA=∠QGA，∠PAF=∠AQG，只需PA=QA，就可得到△PFA与△QAG全等，然后只需根据点P和点Q不同位置进行分类讨论即可解决问题．

试题解析：

(1)BD+DE=CE

证：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，

∵BD⊥l，CE⊥l

∴∠BDA=∠CEA=90°

∴∠ABD+∠DAB=90°

∵∠BAC=90°

∴∠DAB+∠CAE=90°

∴∠ABD=∠CAE

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴AD=CE，BD=AE．

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD；

(2)成立

证：∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD

∠DBA=180°-∠BDA-∠BAD

∵∠BAC=∠BDA

∴∠CAE=∠ABD

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴AD=CE，BD=AE．

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD；

（3）点P运动10或12秒.