题目内容

已知线段AB的长为8cm,C是直线AB上一动点,M是线段AC的中点,N是线段BC的中点.
(1)若点C恰好为线段AB上一点,求MN的长度;
(2)猜想线段MN与线段AB长度的关系,并求
MNAB
的值.
分析:(1)根据中点的性质可得MN=
1
2
AB,继而可求出MN的长度;
(2)需要分三种情况讨论,①点C在线段AB上,②点C在线段AB的延长线上,③点C在线段BA的延长线上,分别求出MN,继而可得出
MN
AB
的值.
解答:解:(1)因为点C恰好为线段AB上一点,如图所示:

则MN=MC+NC=
1
2
AC+
1
2
BC=
1
2
(AC+BC)=
1
2
AB=4cm;
(2)分三种情况讨论,
①当C在线段AB上时,MN=CM+CN=
1
2
AC+
1
2
BC=
1
2
(AC+BC)=
1
2
AB;

②当C在线段AB的延长线上时,MN=CM-CN=
1
2
AC-
1
2
BC=
1
2
(AC-BC)=
1
2
AB=4cm;

③当C在线段BA的延长线上时,MN=CN-CM=
1
2
BC-
1
2
AC=
1
2
(BC-AC)=
1
2
AB=4cm;

综上可得:MN=
1
2
AB,
MN
AB
=
1
2
点评:本题考查了两点间的距离,首先要根据题意,考虑所有可能情况,画出正确图形,再根据中点的概念,进行线段的计算与证明.
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