题目内容
【题目】如图,已知:抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D为顶点,连接BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交与点E.
(1)求抛物线解析式及点D的坐标;
(2)G是抛物线上B,D之间的一点,且S四边形CDGB=4S△DGB,求出G点坐标;
(3)在抛物线上B,D之间是否存在一点M,过点M作MN⊥CD,交直线CD于点N,使以C,M,N为顶点的三角形与△BDE相似?若存在,求出满足条件的点M的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);顶点
;(2)
;(3)存在,点
或
.
【解析】
(1)利用待定系数法可求得抛物线的解析式,然后化成顶点式可得点D的坐标;
(2)连接BC,BG,DG,首先求出,然后根据S四边形CDGB=4S△DGB可得
,求出直线
的解析式,设
,则H(x,2x-6),根据
得出方程,解方程求出x即可解决问题;
(3)如图3,以C,M,N为顶点的三角形与△BDE相似,则以B,C,P为顶点的三角形与△BDE相似,则或
,求出
或
;然后分
和
两种情况,分别求出直线CP的解析式即可解决问题.
解:(1)抛物线
与
轴交于
,
两点,
,解得
,
∴抛物线的解析式为:;
,
顶点
的坐标为
;
(2)如图2,连接,BG,DG,
在中,令
,则
,
∴点,
∴易求直线的解析式为
,
设直线与对称轴相交于点
,
当时,
,
∴点,
∴,
,
四边形
,
,
设过点与
轴平行的直线交BD于点
,直线
的解析式为
,
则,解得
,
∴直线的解析式为
,
设,则H(x,2x-6),
∴,
∴,
整理得,,
解得:,则
,
∴点;
(3)存在,
由勾股定理得,,
如图3,过点作
交
的延长线于
,
,
,
,
,
与
轴的夹角都是
,
,
又,
,
,
以
、
、
为顶点的三角形与
相似,
以
、
、
为顶点的三角形与
相似,
或
,即
或
,
解得:或
,
过点作
轴于
,
,
,
①当时,
,
∴,
∴点,
设直线的解析式为
,
则,解得
,
∴直线的解析式为
,
联立,解得:
(舍去),
,
∴点;
②当时,
,
∴,
∴点,
设直线的解析式为
,
则,解得
,
∴直线的解析式为
,
联立,解得
(舍去),
,
点
,
综上所述,存在点或
,使以
、
、
为顶点的三角形与
相似.
