题目内容
【题目】如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠CDA=90°,AB=1,CD=2,过A,B,D三点的⊙O分别交BC,CD于点E,M,下列结论:
①DM=CM;②弧AB=弧EM;③⊙O的直径为2;④AE=AD.
其中正确的结论有______(填序号).
【答案】①②④
【解析】
连接BD,BM,AM,EM,DE,根据圆周角定理的推论可判定四边形ADMB是矩形,进一步可判断①;在①的基础上可判定四边形AMCB是平行四边形,进而得BE∥AM,即可判断②;易证∠AEM=∠ADM=90,DM=EM,再利用角的关系可得∠ADE=∠AED,继而可判断④;由题设条件求不出⊙O的直径,故可判断③.
解:连接BD,BM,AM,EM,DE,
∵∠BAD=90°,∴BD为圆的直径,∴∠BMD=90°,
∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°,
∴四边形ADMB是矩形,∴AB=DM=1,
又∵CD=2,∴CM=1,∴DM=CM,故①正确;
∵AB∥MC,AB=MC,∴四边形AMCB是平行四边形,
∴BE∥AM,∴,故②正确;
∵,∴AB=EM=1,∴DM=EM,∴∠DEM=∠EDM,
∵∠ADM=90,∴AM是直径,∴∠AEM=∠ADM=90,
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,故④正确;
由题设条件求不出⊙O的直径,所以③错误;
故答案为:①②④.

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