Question

【题目】如图，一次函数的函数图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30.

（1）求△ABC的面积；

（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；

（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出Q的所有可能的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）S四边形POAB＝－m + ；；（3）存在，（3, 0），（－1, 0），（0， －），（0，+2），（0，－2），（0,，）.

【解析】

（1）先求出A、B两点的坐标，再由一个角等于30°，求出AC的长，从而计算出面积；
（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，先求出梯形ODPB的面积和△AOB的面积之和，再减去△APD的面积，即是△APB的面积；根据△APB与△ABC面积相等，求得m的值；
（3）假设存在点Q，使△QAB是等腰三角形，求出Q点的坐标即可．

（1）由条件知：

∴ 在Rt△ABO中，

在Rt△ABC中，∵ ∠ABC=30°,

∴

∴

（2）S四边形POAB＝S△OBP＋S△AOB

∵

∴ S四边形POAB

∵

∴ S△APB＝S四边形POAB－S△AOP

当S△APB＝时

∴

(3)∵

∴当AQ=AB时,点

当AB=BQ时,点

当AQ=BQ时,点

综上可得：