Question

如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AB=10，∠COD=60°，求：
（1）弦CD的长；
（2）∠COE的度数；
（3）线段BE的长（结果用根号表示）．

Answer 1

解：（1）∵半径OC=OD，即△OCD为等腰三角形，
又∵∠COD=60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD=OC=AB=5；

（2）∵直径AB垂直于弦CD于E，
∴CE=ED，
又∵OC=OD，即OE为等腰△OCD的底边CD上的高，
∴OE平分∠COD（三线合一），
∵∠COD=60°，
∴∠COE=30°；

（3）在Rt△OCE中，
∵=cos∠COE，
∴OE=OC•cos∠COE
=5•cos30°=5•=，
∴BE=OB-OE=5-．
分析：（1）先根据已知条件得出△OCD为等腰三角形，再根据∠COD=60°可得出△OCD为等边三角形，由等边三角形的性质可得出CD的长；
（2）由垂径定理可得出CE=ED，再由等腰三角形的性质得出OE平分∠COD，进而可得出∠COE的度数；
（3）先有锐角三角函数的定义可得出OE的长，由BE=OB-OE即可得出结论．
点评：本题考查的是垂径定理及等边三角形的判定定理、特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解答此题的关键．