题目内容
【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在斜边AB上取一点D，过点D作DE∥BC，交AC于点E，现将△ADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在△ABC的内部），使得∠ABD+∠ACD=90°．
（1）①求证：△ABD∽△ACE；
②若CD=1，BD= 
，求AD的长．
（2）如图3，将原题中的条件“AC=BC”去掉，其它条件不变，设 
= 
=k，若CD=1，BD=2，AD=3，求k的值．
（3）如图4，将原题中的条件“∠ACB=90°”去掉，其它条件不变，若 = = 
，设CD=m，BD=n，AD=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
【答案】
（1）
解：①∵DE∥BC，
∴ 
，
由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
②在Rt△ABC中，AC=BC，
∴AB= 
AC，
由①知，△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
∵△ABD∽△ACE，
∴ 
= ，
∴AD= AE，BD= CE，
∵BD= 
，
∴CE= 
，
在Rt△CDE中，CD=1，CE= ，
根据勾股定理得，DE=2，
在Rt△ADE中，AD=AE，
∴AD= DE=2
（2）
解：由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∵ 
= 
∴△ABD∽△ACE，
∴ 
=k，
∵AD=3，BD=2，
∴AE=kAD=3k，CE=kBD=2k，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+4k2，
在Rt△ADE中，DE2=AD2﹣AE2=9﹣9k2，
∴1+4k2=9﹣9k2，
∴k=﹣ 
（舍）或k=
（3）
解：由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∵ =
∴△ABD∽△ACE，
∴ = 
∵AD=p，BD=n，
∴AE= AD= p，CE= BD= n，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=m2+ 
n2，
∵DE=AE= p，
∴ p2=m2+ n2，
∴9p2=25m2+9n2
【解析】（1）①先利用平行线分线段成比例定理得， ，进而得出结论；②利用①得出的比例式求出CE，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD∽△ACE，即可得出AE=3k，CE=2k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；（3）同（2）的方法得出DE2=m2+ n2 ， 而DE=AE= p，即可得出结论；
