题目内容
【题目】已知：如图1，点O是直线AB上一点，过点O作射线OC.
(1)若∠AOC=140°，则∠BOC=________°.
(2)在图1中分别画∠AOC的角平分线OE和∠BOC的角平分线OF，那么,OE和OF有什么位置关系，请说明理由.
(3)若∠BOC=30°，射线OD从OB出发，绕点O以每秒10°角的速度逆时针旋转.当射线OD与射线OA重合时，射线OC以每秒30°角的速度绕点O逆时针旋转，射线OD按原来的速度和方向继续旋转，当射线OC或射线OD中有一条射线与射线OB重合时，两条射线都停止.设射线OD旋转的时间为t秒，在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB、OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线?若存在，直接写出所有满足条件的t的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）40；（2）EO⊥FO，理由见解析（3）t=1.5s或6s
【解析】
（1）根据邻补角即可求解；
（2）根据角平分线与垂直的定义即可求解；
（3）分射线OD是射线OB、射线OC的角平分线；射线OC是射线OD、射线OB的角平分线；射线OB是射线OD、射线OC的角平分线分别讨论即可求解.
（1）∵∠AOC=140°，则∠BOC=180°-∠AOC=40°，
故填：40；
（2）EO⊥FO，理由如下：
如图：∵OE是∠AOC的角平分线，OF是∠BOC的角平分线，
∴∠COE=
∠AOC，∠COF=∠BOC，
∴∠COE+∠COF=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=×180°=90°，
即∠EOF=90°，
∴EO⊥FO.
（3）由题意得当OD运动到OA时，t=18s，当OD运动到OB时，t=36s,当OC运动到OB时，t=18+330÷30=29s,
①射线OD是射线OB、射线OC的角平分线时，
当OD运动，OC不动时，0＜t＜18，
∵∠BOC=30°，
∴∠BOD=∠BOC=15°，
故t=15÷10=1.5s
当OD运动，OC也运动时，18＜t＜29,
∠BOD=360°-10t,∠BOC=360°-30-30（t-18）
∵∠BOD=∠BOC
∴360°-10t=[360°-30-30（t-18）]
解得t=15s,不符合题意，舍去；
②射线OC是射线OD、射线OB的角平分线时
当OD运动，OC不动时，0＜t＜18，
∵∠BOC=30°，
∴∠BOD=2∠BOC=60°，t=60÷10=6s;
当OD运动，OC也运动时，18＜t＜29,
射线OC在射线OB与射线OD所夹钝角之间，不符合题意；
③射线OB是射线OD、射线OC的角平分线
不存在当OD运动，OC不动的情况；
当OD运动，OC也运动时，18＜t＜29,
射线OB在射线OC与射线OD所夹钝角之间，不符合题意
综上，t=1.5s或6s时，使得射线OB、OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线.
【题目】如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环下去．
（1）填写下表：
剪的次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
正方形个数 | 4 | 7 | 10 |
|
|
（2）如果剪了8次，共剪出 个小正方形．
（3）如果剪n次，共剪出 个小正方形．
（4）设最初正方形纸片为1，则剪n次后，最小正方形的边长为 ．
