Question

如图，抛物线的顶点为D，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且OB = 2OC= 3．

   （1）求a，b的值；

   （2）将45°角的顶点P在线段OB上滑动(不与点B重合)，该角的一边过点D，另一边与BD交于点Q，设P（x，0），y₂=DQ，试求出y₂关于x的函数关系式；

（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x = m，x = m+分别与抛物线y₁交于点E，G，与y₂的函数图象交于点F，H．问点E、F、H、G围成四边形的面积能否为？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

【解析】通过B(3，0)，C(0，)两点，求出拋物线的解析式，

（2）作DN⊥AB，由y₁求出AB=4，DN=BN=2，DB=2，由根据勾股定理得jPD²-(1-x)²=4，又因为△MPQ∽ △MBP，所以kPD²=DQ´DB=y₂´2，由j、k得y₂与x的函数关系式

（3）假设E、F、H、G围成四边形的面积能为，通过y₁求出E、G、F、H的坐标，求出EF、GH的长度，

通过四边形EFHG的面积求出m的值

 

Answer 1

（1）由已知，OB=2OC=3

可得，拋物线y₁=ax²-2ax+b经过B(3，0)，C(0，)两点，

∴，∴

∴拋物线的解析式为y₁= -x²+x+．           ---------4分

（2）作DN⊥AB，垂足为N．（如下图1）

由y₁= -x²+x+易得D(1，2)， N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，

  ∴AB=4，DN=BN=2，DB=2，

   ÐDBN=45°．根据勾股定理有BD ²-BN ²=PD ²-PN ²．

   ∴(2)²-2²=PD²-(1-x)²-----j

又ÐMPQ=45°=ÐMBP，

   ∴△MPQ ∽ △MBP，∴PD²=DQ´DB=y₂´2------k．

   由j、k得y₂=x²-x+．∵0≤x＜3，

∴y₂与x的函数关系式为y₂=x²-x+=(0≤x≤3)．--------4分

（自变量取值范围没写，不扣分）

 

 

（3）假设E、F、H、G围成四边形的面积能为  （如图2）

∵点E、G是抛物线y₁= -x²+x+= 分别与直线x=m，x= m+的交点

∴点E、G坐标为 E(m，)，G(m+，)．

同理，点F、H坐标 为F(m，)，H(m+，)．

 ∴EF=-［］=

GH=)-［］=．

  ∵四边形EFHG是平行四边形或梯形，

∴S=［+］×=

化简得

解得m=或（都在0≤x≤3内）

所以，当m=或时，E、F、H、G围成四边形的面积为.    --------4分