Question

（2013•鄂尔多斯）如图，抛物线的顶点为C（-1，-1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为-3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为
顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标；
（3）若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据顶点坐标设出抛物线的顶点式解析式，将原点坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）分三种情况考虑，D在第一象限，第二象限以及第三象限，利用平行四边形的性质及坐标与图形性质求出D坐标即可；
（3）根据题意画出图形，根据B横坐标为-3，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B坐标，进而求出BC，BO，OC的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形BOC为直角三角形，若P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（m，n），由题意得m＞0，n＞0，且n=m²+2m，根据相似得比例，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而求出n的值，即可确定出P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点为C（-1，-1），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）²-1，
∵抛物线经过（0，0），
∴将x=0，y=0代入抛物线解析式得：0=a-1，
解得：a=1，
∴y=（x+1）²-1=x²+2x，
令y=0时，x²+2x=0，
解得x₁=0，x₂=-2，
∴A（-2，0）；
（2）如图所示，分三种情况考虑：
当D₁在第一象限时，若四边形AOD₁E₁为平行四边形，
∴AO=E₁D₁=2，
∵抛物线对称轴为直线x=-1，
∴D₁横坐标为1，
将x=1代入抛物线y=x²+2x=1+2=3，即D₁（1，3）；
当D₂在第二象限时，同理D₂（-3，3）；
当D₃在第三象限时，若四边形AE₂OD₃为平行四边形，此时D₃与C重合，即D₃（-1，-1）；
（3）存在，
∵点B在抛物线上，
∴当x=-3时，y=9-6=3，
∴B（-3，3），
根据勾股定理得：BO²=9+9=18；CO²=1+1=2；BC²=16+4=20，
∴BO²+CO²=18+2=20，
∴BO²+CO²=BC²，∴△BOC为直角三角形，
假设存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似，
设P（m，n），由题意得m＞0，n＞0，且n=m²+2m，
①若△AMP∽△BOC，则

AM

BO

=

PM

CO

，即

m+2

18

=

m2+2

2

，
整理得：m+2=3（m²+2m）=0，即3m²+5m-2=0，
解得：m₁=

1

3

，m₂=-2（舍去），
m₁=

1

3

时，n=

1

9

+

2

3

=

7

9

，
∴P（

1

3

，

7

9

）；                                         
②若△AMP∽△COB，则

AM

CO

=

PM

BO

，即

m+2

2

=

m2+2

18

，
整理得：m²-m-6=0，
解得  m₁=3，m₂=-2（舍去），
当m=3时，n=9+6=15，
∴P（3，15），
综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P₁（

1

3

，

7

9

），P₂（3，15）．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求抛物线解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面．