Question

如图，抛物线的顶点为P（1，0），一条直线与抛物线相交于A（2，1），B（-

1

2

，m）两点．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）若M为线段AB上的动点，过M作MN∥y轴，交抛物线于点N，连接NP、AP，试探究四边形MNPA能否为梯形？若能，求出此点M的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可先根据P点的坐标，用顶点式二次函数通式设出抛物线的解析式，然后将A点的坐标代入抛物线中，即可求出二次函数的解析式，进而可求得B点的坐标．然后根据A、B两点的坐标求出直线AB的解析式．
（2）可假设存在这样的点M，若四边形MNPA为梯形，那么只有一种可能即NP∥MA，可通过构建相似三角形来求出N点的坐标．由于N点在抛物线上，因此可根据抛物线的解析式设出N点的坐标，假设直线AB与x轴的交点为R（R的坐标可通过直线AB的解析式求得），过A作AS⊥x轴于S，可通过证三角形NPQ和ARS相似来得出关于NQ，AS，QP，SR的比例关系式，据此可求出N点的横坐标，然后将N点的横坐标代入直线AB的解析式中即可求出M的坐标．

解答：解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x-1）²．
∴a（2-1）²=1，
∴a=1
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+1．（1分）
当x=-

1

2

时，m=（-

1

2

）²-2×（-

1

2

）+1=

9

4

，
设直线AB的解析式为y=kx+b
∴

- 1 2 k+b= 9 4 2k+b=1

，
解得

k=- 1 2 b=2

．
∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x+2．

（2）假设符合条件的点M存在．
由题意可知，MN不平行于AP，
∴梯形的两底只能是NP、MA．
设AB与x轴相交于点R，MN的延长线与x轴相交于点Q，作AS⊥x轴于点S，
由y=-

1

2

x+2知点R的坐标为（4，0）．
∵NP∥MA
∴∠NPQ=∠ARS，
∵∠NQP=∠ASR=90°
∴Rt△NPQ∽Rt△ARS
∴

NQ

AS

=

QP

SR

设N点的坐标为（x，x²-2x+1），
则有

x2-2x+1

1

=

1-x

2

，
解得x=

1

2

，x=1（舍去）．
当x=

1

2

时，y=-

1

2

×

1

2

+2=

7

4

．
∴符合条件的点M存在，其坐标为（

1

2

，

7

4

）．

点评：本题考查了一次函数和二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、梯形的判定和性质等知识点．
主要考查学生数形结合的数学思想方法．