Question

给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N．以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q．求证：M，N，P，Q四点共圆．
（第19届美国数学奥林匹克）

Answer 1

证明：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM．
由射影定理，得AM*AM=AC'*AB，AP*AP=AC*AB'，又B、C、B'、C'四点共圆，
由切割线定理，AC'*AB=AC*AB'，
∴AM=AP，又AM=AN，AP=AQ（垂直于直径的弦性质），
∴AM=AP=AN=AQ，M、N、P、Q是共圆心为A的圆．
须证MK•KN=PK•KQ，
即证（MC′-KC′）（MC′+KC′）
=（PB′-KB′）•（PB′+KB′）
或MC′²-KC′²=PB′²-KB′²．①
∵AP=AM（所对弧长相等），
从而有AB′²+PB′²=AC′²+MC′²．
故MC′²-PB′²=AB′²-AC′²
=（AK²-KB′²）-（AK²-KC′²）
=KC′²-KB′²．②
由②即得①，命题得证．