题目内容
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0).直线y=h(h为常数,且0<h<6)与BC交于点D,与y轴交于点E,与AC交于点F,与抛物线在第二象限交于点G.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接BE,求h为何值时,△BDE的面积最大;
(3)已知一定点M(-2,0).问:是否存在这样的直线y=h,使△OMF是等腰三角形?若存在,请求出h的值和点G的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接BE,求h为何值时,△BDE的面积最大;
(3)已知一定点M(-2,0).问:是否存在这样的直线y=h,使△OMF是等腰三角形?若存在,请求出h的值和点G的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0),
∴
.
解得:
.
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+6.
(2)∵把x=0代入y=-x2-x+6,得y=6.
∴点C的坐标为(0,6).
设经过点B和点C的直线的解析式为y=mx+n,则
,
解得
.
∴经过点B和点C的直线的解析式为:y=-3x+6.
∵点E在直线y=h上,
∴点E的坐标为(0,h).
∴OE=h.
∵点D在直线y=h上,
∴点D的纵坐标为h.
把y=h代入y=-3x+6,得h=-3x+6.
解得x=
.
∴点D的坐标为(
,h).
∴DE=
.
∴S△BDE=
•OE•DE=
•h•
=-
(h-3)2+
.
∵-
<0且0<h<6,
∴当h=3时,△BDE的面积最大,最大面积是
.
(3)存在符合题意的直线y=h.
设经过点A和点C的直线的解析式为y=kx+p,则
,
解得
.
故经过点A和点C的直线的解析式为y=2x+6.
把y=h代入y=2x+6,得h=2x+6.
解得x=
.
∴点F的坐标为(
,h).
在△OFM中,OM=2,OF=
,MF=
.
①若OF=OM,则
=2,
整理,得5h2-12h+20=0.
∵△=(-12)2-4×5×20=-256<0,
∴此方程无解.
∴OF=OM不成立.
②若OF=MF,则
=
,
解得h=4.
把y=h=4代入y=-x2-x+6,得-x2-x+6=4,
解得x1=-2,x2=1.
∵点G在第二象限,
∴点G的坐标为(-2,4).
③若MF=OM,则
=2,
解得h1=2,h2=-
(不合题意,舍去).
把y=h1=2代入y=-x2-x+6,得-x2-x+6=2.
解得x1=
,x2=
.
∵点G在第二象限,
∴点G的坐标为(
,2).
综上所述,存在这样的直线y=2或y=4,使△OMF是等腰三角形,当h=4时,点G的坐标为(-2,4);当h=2时,点G的坐标为(
,2).
∴
|
解得:
|
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+6.
(2)∵把x=0代入y=-x2-x+6,得y=6.
∴点C的坐标为(0,6).
设经过点B和点C的直线的解析式为y=mx+n,则
|
解得
|
∴经过点B和点C的直线的解析式为:y=-3x+6.
∵点E在直线y=h上,
∴点E的坐标为(0,h).
∴OE=h.
∵点D在直线y=h上,
∴点D的纵坐标为h.
把y=h代入y=-3x+6,得h=-3x+6.
解得x=
6-h |
3 |
∴点D的坐标为(
6-h |
3 |
∴DE=
6-h |
3 |
∴S△BDE=
1 |
2 |
1 |
2 |
6-h |
3 |
1 |
6 |
3 |
2 |
∵-
1 |
6 |
∴当h=3时,△BDE的面积最大,最大面积是
3 |
2 |
(3)存在符合题意的直线y=h.
设经过点A和点C的直线的解析式为y=kx+p,则
|
解得
|
故经过点A和点C的直线的解析式为y=2x+6.
把y=h代入y=2x+6,得h=2x+6.
解得x=
h-6 |
2 |
∴点F的坐标为(
h-6 |
2 |
在△OFM中,OM=2,OF=
(
|
(
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①若OF=OM,则
(
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整理,得5h2-12h+20=0.
∵△=(-12)2-4×5×20=-256<0,
∴此方程无解.
∴OF=OM不成立.
②若OF=MF,则
(
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(
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解得h=4.
把y=h=4代入y=-x2-x+6,得-x2-x+6=4,
解得x1=-2,x2=1.
∵点G在第二象限,
∴点G的坐标为(-2,4).
③若MF=OM,则
(
|
解得h1=2,h2=-
6 |
5 |
把y=h1=2代入y=-x2-x+6,得-x2-x+6=2.
解得x1=
-1-
| ||
2 |
-1+
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2 |
∵点G在第二象限,
∴点G的坐标为(
-1-
| ||
2 |
综上所述,存在这样的直线y=2或y=4,使△OMF是等腰三角形,当h=4时,点G的坐标为(-2,4);当h=2时,点G的坐标为(
-1-
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2 |
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