Question

在平面直角坐标系中给定以下五个点A（-3，0），B（-1，4），C（0，3），D（

1

2

，

7

4

），E（1，0）．
（1）请从五点中任选三点，求一条以平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图；
（3）已知点F（-1，

15

4

）在抛物线的对称轴上，直线y=

17

4

过点G（-1，

17

4

）且垂直于对称轴．验证：以E（1，0）为圆心，EF为半径的圆与直线y=

17

4

相切．请你进一步验证，以抛物线上的点D（

1

2

，

7

4

）为圆心DF为半径的圆也与直线y=

17

4

相切．由此你能猜想到怎样的结论．

Answer 1

分析：首先用待定系数法求得抛物线的解析式，利用抛物线的公式求得抛物线的顶点坐标及对称轴，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段EF、DF的长，再与点E、D到直线y=

17

4

的距离比较，得到点E和点D分别到点F的距离等于各自到直线y=

17

4

的距离．
最后可猜想：以抛物线上任意一点P为圆心，以PF为半径的圆与直线y=

17

4

相切．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
且过点A（-3，0），C（0，3），E（1，0），
由（0，3）在y=ax²+bx+cH．
则c=3．
得方程组

9a-3b+3=0 a+b+c=0

，
解得a=-1，b=-2．
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．

（2）由y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
得顶点坐标为（-1，4），对称轴为x=-1．

（3）①连接EF，过点E作直线y=

17

4

的垂线，垂足为N，
则EN=HG=

17

4

．
在Rt△FHE中，HE=2，HF=

15

4

，
∴EF=

HE2+HF2

=

17

4

，
∴EF=EN，
∴以E点为圆心，EF为半径的⊙E与直线y=

17

4

相切．
②连接DF过点D作直线y=

17

4

的垂线，垂足为M．过点D作DQ⊥GH垂足Q，
则DM=QG=

17

4

-

7

4

=

10

4

=

5

2

．
在Rt△FQD中，QD=

3

2

，QF=

15

4

-

7

4

=

8

4

=2．FD=

QF2+QD2

=

5

2

．
∴以D点为圆心DF为半径的⊙D与直线y=

17

4

相切．
③以抛物线上任意一点P为圆心，以PF为半径的圆与直线y=

17

4

相切．
说明：解答题只提供了一种答案，如有其他解法只要正确，可参照本评分标准按步骤赋分．

点评：本题考查了用待定系数法确定抛物线的解析式，及由抛物线的解析式求顶点坐标和对称轴的方法；
第3问利用构造直角三角形，勾股定理求线段的长，及定点到定直线的距离的求法；
最后的猜想实际是说明了抛物线是由到定点和定直线距离相等的点的集合．