题目内容
如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足b=
| ||||
| a+2 |
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点M为直线y=mx在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值．
（3）如图3过点A的直线y=kx-2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为-1，过N点的直线y=
| k |
| 2 |
| k |
| 2 |
| PM+PN |
| NM |
| PM-PN |
| AM |
分析：（1）求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；
（2）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐标即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，同法求出M的坐标；③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥x轴于N，MH⊥y轴于H，证△BHM≌△AMN，求出M的坐标即可．
（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．
（2）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐标即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，同法求出M的坐标；③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥x轴于N，MH⊥y轴于H，证△BHM≌△AMN，求出M的坐标即可．
（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．
解答：解：（1）要使b=
有意义，
必须a2-4≥0，4-a2≥0，a+2≠0，
∴a=2，
代入得：b=4，
∴A（2，0），B（0，4），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
代入得：
，
解得：k=-2，b=4，
∴函数解析式为：y=-2x+4，
答：直线AB的解析式是y=-2x+4．
（2）如图2，分三种情况：
①如图1，当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，
∵BM⊥BA，MN⊥y轴，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中
，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐标为（4，6 ），
代入y=mx得：m=
，
②如图2
当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2），m=
，
③如图4，
当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
设M（x，x）代入y=mx得：x=mx，
∴m=1，
答：m的值是
或
或1．
（3）解：如图3，结论2是正确的且定值为2，
设NM与x轴的交点为H，过M作MG⊥x轴于G，过H作HD⊥x轴，HD交MP于D点，
连接ND，
由y=
x-
与x轴交于H点，
∴H（1，0），
由y=
x-
与y=kx-2k交于M点，
∴M（3，k），
而A（2，0），
∴A为HG的中点，
∴△AMG≌△ADH（ASA），
又因为N点的横坐标为-1，且在y=
x-
上，
∴可得N 的纵坐标为-k，同理P的纵坐标为-2k，
∴ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1
∴N与D关于y轴对称，
∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，
∴PN=PD=AD=AM，
∴
=2．
| ||||
| a+2 |
必须a2-4≥0，4-a2≥0，a+2≠0，
∴a=2，
代入得：b=4，
∴A（2，0），B（0，4），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
代入得：
|
解得：k=-2，b=4，
∴函数解析式为：y=-2x+4，
答：直线AB的解析式是y=-2x+4．
（2）如图2，分三种情况：
①如图1，当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，
∵BM⊥BA，MN⊥y轴，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中
|
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐标为（4，6 ），
代入y=mx得：m=
| 3 |
| 2 |
②如图2
当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2），m=
| 1 |
| 3 |
③如图4，
当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
设M（x，x）代入y=mx得：x=mx，
∴m=1，
答：m的值是
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
（3）解：如图3，结论2是正确的且定值为2，
设NM与x轴的交点为H，过M作MG⊥x轴于G，过H作HD⊥x轴，HD交MP于D点，
连接ND，由y=
| k |
| 2 |
| k |
| 2 |
∴H（1，0），
由y=
| k |
| 2 |
| k |
| 2 |
∴M（3，k），
而A（2，0），
∴A为HG的中点，
∴△AMG≌△ADH（ASA），
又因为N点的横坐标为-1，且在y=
| k |
| 2 |
| k |
| 2 |
∴可得N 的纵坐标为-k，同理P的纵坐标为-2k，
∴ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1
∴N与D关于y轴对称，
∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，
∴PN=PD=AD=AM，
∴
| PM-PN |
| AM |
点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
练习册系列答案
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在平面直角坐标系中，将一块腰长为
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点，点
再绕着点
点，这时点
与点
为旋转中心时，点
点，点
点，点
点,小明发现P、
两点关于点
中心对称.
、
、
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到点
. 继续如此操作若干次得到点
，则点
的坐为．
，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），