Question

已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），点B和点C在x轴上（点B在点C的左边，点C在原点的右边），作BE⊥AC，垂足为E（点E与点A不重合），直线BE与y轴交于点D，若BD=AC．
（1）建立直角坐标系，按给出的条件画出图形；
（2）求点B的坐标；
（3）设OC长为m，△BOD的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分两种情况，①当B在原点左边时，②当B在原点右边时分别画出图象即可；
（2）①当B在原点左边时，利用同角的余角相等，得到∠1=∠2，再证△AOC≌△BOD，得到OA=OB，因为A（0，6），所以B（-6，0）；
②当B在原点右边时，同①可证OA=OB=6，所以B（6，0）；
（3）分两种情况：当B在原点左侧时，因为△AOC≌△BOD，所以OC=DO=m，即可得到S=

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OB•OD=3m（0＜m＜6）；当B在原点右侧时，同理可得S=3m（m＞6）；

解答：解：（1）依题意，分两种情况
情况一：当点B在原点的左边时：如图1所示；
情况二：当点B在原点的右边时：如图2所示；


（2）如图1：在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°
∴∠1+∠3=90°
∵BE⊥AC，垂足为E，
∴∠BEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，
在Rt△AOC中和Rt△BOD中

∠AOC=∠BOD ∠1=∠2 AC=BD

∴Rt△AOC≌Rt△BOD（AAS），
∴OA=OB，
∴A（0，6）∴B（-6，0），
（如图2）同一可证得：OA=OB
∴B（6，0），
∴B点的坐标为（-6，0）或（6，0）；

（3）如图1中，Rt△AOC≌Rt△BOD
∴OC=OD=m
∴S=

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2

•OB•OD=

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2

×6×m，
∴S=3m     其中0＜m＜6，
如图2中  同理可得：S=3m   其中m＞6，
∴所求函数解析式为：S=3m，其中m＞0，且m≠6．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及勾股定理和全等三角形等知识，利用数形结合以及分类讨论即可解决问题．