题目内容

（2012•老河口市模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A（0，4），交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）．B、C两点坐标分别为（3，0），（8，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，点Q是对称轴l上的一动点，是否存在以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）已知∠ABD是直角，若连接圆心和切点（暂定为E），不难看出Rt△OAB、Rt△EBC相似（或全等），可据此求出⊙C的半径，再将该半径与点C到对称轴l的距离进行比较即可；
（3）此题应分两种情况讨论：
①BC为平行四边形的边；那么将点Q向左或向右平移BC长，即可得到点P的横坐标，再代入抛物线的解析式中求解即可；
②BC为平行四边形的对角线；根据平行四边形的中心对称性，点P必在抛物线的对称轴上，显然只有抛物线的顶点符合点P的要求．
解答：解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，根据题意，得：
9a+3b+4=0
64a+8b+4=0
，
解得
a=
1
6
b=-
11
6
．
故抛物线的解析式为y=
1
6
x2-
11
6
x+4；

（2）设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则∠BEC=∠AOB=90°．
∵A（0，4）、B（3，0）、C（8，0），
∴OA=4，OB=3，OC=8，BC=5；
∴AB=
OA2+OB2
=5，
∴AB=BC．
∵AB⊥BD，
∴∠ABC=∠EBC+90°=∠OAB+90°，
∴∠EBC=∠OAB，
∴
∠OAB=∠EBC
∠AOB=∠BEC
AB=BC
，
∴△OAB≌△EBC，
∴OB=EC=3．
设抛物线对称轴交x轴于F．
∵x=-
b
2a
=-
-
11
6
2×
1
6
=
11
2
，
∴F（
11
2
，0），
∴CF=8-
11
2
=
5
2
＜3，
∴对称轴l与⊙C相交；

（3）由（2）知：抛物线的对称轴为x=
11
2
，设Q（
11
2
，yQ），已知BC=5，则有：
①若BC为边，则：P（
11
2
+5，yP）或（
11
2
-5，yP），代入抛物线的解析式中，可得：
P1（
21
2
，
25
8
）、P2（
1
2
，
25
8
）；
②若BC为对角线，则点P必在抛物线对称轴上，即此时点P是抛物线的顶点（
11
2
，-
25
24
）．
综上，存在符合条件的点P，坐标为（
1
2
，
25
8
）或（
21
2
，
25
8
）或（
11
2
，-
25
24
）．
点评：此题主要考查的是利用待定系数法确定函数解析式、全等三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系以及平行四边形的特点等重要知识点；（4）的类型题中，根据平行四边形的特点，将一点平移得出另一点，再代入抛物线的解析式中求解；或过两点作坐标轴的垂线，通过构建全等三角形求解都是常用的方法．
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2
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