Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．

（1）如果∠BAO=45°，直接写出点P的坐标；

（2）求证：点P在∠AOB的平分线上；

（3）设点P到x轴的距离为h，直接写出h的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）(，)；（2）见解析；（3）1＜h≤

【解析】（1）当∠BAO=45°时，因为四边形ABCD是正方形，P是AC，BD对角线的交点，能证明OAPB是正方形，从而求出P点的坐标．

（2）过P点作x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明是角平分线．

（3）因为点P在∠AOB的平分线上，所以h＞0，从最小值到最大值时的位置进行分析．

解：（1）∵∠BPA=90°，PA=PB，

∴∠PAB=45°，

∵∠BAO=45°，

∴∠PAO=90°，

∴四边形OAPB是正方形，

∵AB=2，由勾股定理得：PA=PB=

∴P点的坐标为：（，）．

（2）证明：作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，

∴∠PEB=∠PFA=90°．

∵四边形ABCD是正方形，AC与BD相交于P，

∴PA=PB，∠APB=90°．

∵∠AOB=90°，

∴∠PAO+∠PBO=180°．

∵∠PBE+∠PBO=180°，

∴∠PBE=∠PAO，

在△PEB和△PFA中：

∴△PEB≌和△PFA（AAS）

∴PE=PF

∴OP平分∠AOB．

即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，

点P都在∠AOB的平分线上；

（3）结合（2）设PF=h，∠APF=α．

在直角△APF中，∠AFP=90°，PA=，

∴PF=PAcosα=cosα，

又∵顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），

∴0°≤α＜45°，

∴1＜h≤．