题目内容
已知,在平行四边形OABC中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°,动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为t秒.
(1)求直线AC的解析式;
(2)试求出当t为何值时,△OAC与△PAQ相似?
(3)若⊙P的半径为
,⊙Q的半径为
;当⊙P与对角线AC相切时,判断⊙Q与直线AC、BC的位置关系,并求出Q点坐标.
(1)求直线AC的解析式;
(2)试求出当t为何值时,△OAC与△PAQ相似?
(3)若⊙P的半径为
8 |
5 |
3 |
2 |
(1)过C点作x轴的垂线,垂足为D点,在平行四边形OABC中,由OA=5,AB=4,∠OCA=90°,得AC=3,
由面积法,得CD×OA=OC×AC,解得CD=
=
,
在Rt△OCD中,由勾股定理得OD=
=
,
∴C(
,
),
又∵A(5,0),
∴直线AC解析式为:y=-
x+
;
(2)当0≤t≤2.5时,P在OA上,若∠OAQ=90°时,
故此时△OAC与△PAQ不可能相似.
当t>2.5时,
①若∠APQ=90°,则△APQ∽△OAC,
故
=
=
,
∴
=
,
∴t=
,
∵t>2.5,
∴t=
符合条件.
②若∠AQP=90°,则△APQ∽△OAC,
故
=
=
,
∴
=
,
∴t=
,
∵t>2.5,
∴t=
符合条件.
综上可知,当t=
或
时,△OAC与△APQ相似.
(3)⊙Q与直线AC、BC均相切.
如图,设⊙P与AC相切于点M,则PM∥OC,
∴
=
,即
×5=PA×4,
解得PA=2,OP=5-2=3,
P点运动时间为3÷2=
秒,
故Q点运动时间为
秒,此时AQ=
,
BQ=4-
=
,
过Q点作QN⊥BC,垂足为N,则△BQN∽△BCA,
=
,即
=
,
解得QN=
,
则AQ=QN,
∵AC⊥AB,
∴⊙Q与直线AC、BC均相切.
此时,Q点坐标为(
,
).
由面积法,得CD×OA=OC×AC,解得CD=
4×3 |
5 |
12 |
5 |
在Rt△OCD中,由勾股定理得OD=
OC2-CD2 |
16 |
5 |
∴C(
16 |
5 |
12 |
5 |
又∵A(5,0),
∴直线AC解析式为:y=-
4 |
3 |
20 |
3 |
(2)当0≤t≤2.5时,P在OA上,若∠OAQ=90°时,
故此时△OAC与△PAQ不可能相似.
当t>2.5时,
①若∠APQ=90°,则△APQ∽△OAC,
故
AQ |
AP |
OC |
OA |
4 |
5 |
∴
2t-5 |
t |
4 |
5 |
∴t=
25 |
6 |
∵t>2.5,
∴t=
25 |
6 |
②若∠AQP=90°,则△APQ∽△OAC,
故
AQ |
AP |
OC |
OA |
4 |
5 |
∴
t |
2t-5 |
4 |
5 |
∴t=
20 |
3 |
∵t>2.5,
∴t=
20 |
3 |
综上可知,当t=
25 |
6 |
20 |
3 |
(3)⊙Q与直线AC、BC均相切.
如图,设⊙P与AC相切于点M,则PM∥OC,
∴
PM |
OC |
PA |
OA |
8 |
5 |
解得PA=2,OP=5-2=3,
P点运动时间为3÷2=
3 |
2 |
故Q点运动时间为
3 |
2 |
3 |
2 |
BQ=4-
3 |
2 |
5 |
2 |
过Q点作QN⊥BC,垂足为N,则△BQN∽△BCA,
QN |
QB |
AC |
BC |
QN | ||
|
3 |
5 |
解得QN=
3 |
2 |
则AQ=QN,
∵AC⊥AB,
∴⊙Q与直线AC、BC均相切.
此时,Q点坐标为(
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