题目内容
如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,16),D(24,0),点B在第一象限,且AB∥x轴,BD=20,动点P从原点O开始沿y轴正半轴以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动,过点P作x轴的平行线与BD交于点C;动点Q从点A开始沿线段AB-BD以每秒8个单位长的速度向点D匀速运动,设点P、Q同时开始运动且时间为t(t>0),当点P与点A重合时停止运动,点Q也随之停止运动.
(1)求点B的坐标及BD所在直线的解析式;
(2)当t为何值时,点Q和点C重合?
(3)当点Q在AB上(包括点B)运动时,求S△PQC与t的函数关系式;
(4)若∠PQC=90°时,求t的值.
(1)求点B的坐标及BD所在直线的解析式;
(2)当t为何值时,点Q和点C重合?
(3)当点Q在AB上(包括点B)运动时,求S△PQC与t的函数关系式;
(4)若∠PQC=90°时,求t的值.
(1)∵A(0,16),D(24,0)
∴AO=16,OD=24
过点B作BF⊥OD于F,
∴∠BOF=90°,AO∥BF,且AB∥x轴
∴四边形ABFO是矩形
∴BF=AO=16
在Rt△BFD中,由勾股定理,得
FD=12
∴OF=12
∴B(12,16)
设直线BD的解析式为y=kx+b,由题意,得
,解得
∴直线BD的解析式为y=-
x+32
(2)∵PC∥OD
∴
=
∴
=
∴EC=12-3t
∴PC=24-3t,BE=16-4t
过点Q作QH⊥OD于H,
∴
=
∵BQ=8t-12
∴DQ=32-8t
∴
=
,解得
QH=
∴GQ=
∴
=0,解得
t1=8(不符合题意),t2=
∴当t2=
时点Q和点C重合.
(3)当0<t≤1.5时
S△PQC=
∴S△PQC=6t2-72t+192
∴当点Q在AB上(包括点B)运动时,求S△PQC与t的函数关系式为S△PQC=6t2-72t+192
(4)∵
=
∴
=
∴DC=5t
∴CQ=32-13t
∵∠PQC=90°
∴△BFD∽△PQC
∴
=
∴
=
,
解得t=
∴AO=16,OD=24
过点B作BF⊥OD于F,
∴∠BOF=90°,AO∥BF,且AB∥x轴
∴四边形ABFO是矩形
∴BF=AO=16
在Rt△BFD中,由勾股定理,得
FD=12
∴OF=12
∴B(12,16)
设直线BD的解析式为y=kx+b,由题意,得
|
|
∴直线BD的解析式为y=-
4 |
3 |
(2)∵PC∥OD
∴
EC |
FD |
BE |
BF |
∴
EC |
12 |
16-4t |
16 |
∴EC=12-3t
∴PC=24-3t,BE=16-4t
过点Q作QH⊥OD于H,
∴
DQ |
BD |
QH |
BF |
∵BQ=8t-12
∴DQ=32-8t
∴
32-8t |
20 |
QH |
16 |
QH=
108-32t |
5 |
∴GQ=
108-52t |
5 |
∴
| ||
2 |
t1=8(不符合题意),t2=
27 |
13 |
∴当t2=
27 |
13 |
(3)当0<t≤1.5时
S△PQC=
(24-3t)(16-4t) |
2 |
∴S△PQC=6t2-72t+192
∴当点Q在AB上(包括点B)运动时,求S△PQC与t的函数关系式为S△PQC=6t2-72t+192
(4)∵
BE |
BF |
BC |
BD |
∴
20-DC |
20 |
16-4t |
16 |
∴DC=5t
∴CQ=32-13t
∵∠PQC=90°
∴△BFD∽△PQC
∴
FD |
CQ |
BD |
PC |
∴
12 |
32-13t |
20 |
24-3t |
解得t=
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