Question

已知关于x的方程x²-2bx+a-4b=0，其中a、b为实数．
（1）若此方程有一个根为a²（a≠0），求代数式

4b-a

a2

-a2+2b+8的值；
（2）若对于任何实数b，此方程都有实数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a²（a≠0）代入方程，然后整理求值即可；
（2）根据题意，根的判别式△=b²-4ac=4b²-4a+16b≥0，继而进行判断求解即可．

解答：解：（1）∵方程x²-2bx+a-4b=0有一个根为a²（a≠0），
∴a⁴-2ba²+a-4b=0，
等式两边同除以a²，整理得：

4b-a

a2

-a²+2b=0，
∴代数式

4b-a

a2

-a2+2b+8=8；

（2）△=4b²-4（a-2b）=4b²-4a+16b，
∵对于任何实数a，此方程都有实数根，
∴对于任何实数a，都有4b²-4a+16b≥0，即b²-a+4b≥0，
∴对于任何实数a，都有a≤b²+4b，
∵b²+4b=（b+2）²-4，
当b=-2时，b²+4b有最小值为-4，
∴a的取值范围是：a≤-4．

点评：本题考查了根的判别式、根与一元二次方程系数的关系及二次函数的最值等知识点，是一道小的综合题，难度适中．