题目内容

【题目】长江汛期即将来临,防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图,灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒,灯B转动的速度是b°/秒,且a、b满足|a﹣3b|+(a+b﹣4)2=0.假定这一带长江两岸河堤是平行的,即PQ∥MN,且∠BAN=45°

(1)求a、b的值;

(2)若灯B射线先转动20秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?

(3)如图,两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作CD⊥AC交PQ于点D,则在转动过程中,=

【答案】(1)a=3,b=1;

(2)当t=10秒或85秒时,两灯的光束互相平行;

(3)∠BAC:∠BCD=3:2

【解析】分析:

(1)根据|a-3b|+=0,可得a-3b=0,且a+b-4=0,进而得出a、b的值;

(2)设A灯转动x秒,两灯的光束互相平行,分两种情况进行讨论:①在灯A射线转到AN之前,②在灯A射线转到AN之后,分别求得t的值即可;

(3)设灯A射线转动时间为t秒,根据∠BAC=45°-(180°-3t)=3t-135°,BCD=90°-BCA=90°-(180°-2t)=2t-90°,可得∠BAC与∠BCD的数量关系.

本题解析:(1)a、b满足|a﹣3b|+(a+b﹣4)2=0,

a﹣3b=0,且a+b﹣4=0,

a=3,b=1;

(2)设A灯转动x秒,两灯的光束互相平行,

①在灯A射线转到AN之前,

3t=(20+t)×1 解得t=10;

②在灯A射线转到AN之后,

3t﹣3×60+(20+t)×1=180, 解得t=85

综上所述,当t=10秒或85秒时,两灯的光束互相平行;

(3)(3)设灯A射线转动时间为t秒,

∵∠CAN=3t,

∴∠BAC=(3t)=3t

又∵PQMN,

∴∠BCA=CBD+CAN=t+3t=2t,

而∠ACD=

∴∠BCD=∠BCA=(2t)=2t

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