Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0,－4），与x轴交于A、B，且点B的坐标为（2,0）．

(1)求该抛物线的解析式；

(2) 若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E,连接CP，求△PCE面积的最大值；

(3) 若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD是等腰三角形，求M点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+x－4；

（2）△PCE面积的最大值为3；

（3）M点的坐标为（－1，－3）或（－2,－2）．

【解析】试题分析：本题主要考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形。

（1）将点A的坐标和点B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得该抛物线的解析式。

（2）将y=0代入抛物线的解析式中，得到点A的坐标，因为PE//AC，所以∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，则△BPE∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质求得△PCE的面积方程，即可求得△PCE面积的最大值。

（3）根据题意，分类讨论△OMD为等腰三角形的情况，①当OD=DM时，因为点D为OA的中点，所以△ADM为等腰三角形，因为OA=OC，且∠AOC=90，所以△AOC为等腰直角三角形，即可求得点M的坐标。②当DM=OM时，过点M作AB的垂线交于N点，连接MN，因为MN⊥AB，由等腰三角形的性质可知，MN是△OMD的中线，所以ON=DN=1，设为y=kx+b，将点A的坐标和点C的坐标代入上式得直线AC的解析式，则将x=1代入直线AC的解析式中，即可求得点M的坐标。③当DO=OM时，OM最小为点O到AC的距离，因为△AOC为等腰直角三角形，即可证明DO=OM不成立。

试题解析：（1）把点C（0,－4），B(2,0)分别代入y=x2+bx+c中，

c=－4

×22+2b+c=0

∴b=1

∴y=x2+x－4

（2）设P点坐标为（x，0），则BP=2－x,

∵x2+x－4=0 得x1=2,x2=4

∴A点坐标为（－4，0）

∴S△ABC =AB·OC=×6×4=12

∵PE∥AC

∴∠BPE =∠BAC ，∠BEP =∠BCA

∴△BPE∽△BAC…

∴ =()2 即=

所以S△BPE = (2－x)2

又∵S△BCP = (2－x) ×4=2(2－x)

∴ S△PCE =S△BCP －S△BPE =2(2－x)－ (2－x)2 =－x2 －x+=－ (x+1)2+3

∴x=－1时△PCE面积的最大值是3．

（3）当MO=MD时，过M作MM1⊥OD,垂足为M1，则M1为OD的中点

∴OM1=DM1=1

又∵∠OAC =45°

∴M1M=M1A=3

∴M点的坐标为（－1，－3）

当DM=DO时，

DO=DM=DA=2

∴∠OAC =∠AMD=45°

∴∠ADM =90°

∴M点的坐标为（－2,－2）

当OM=OD时，过O作OM2⊥AC,垂足为M2，

∵OA =4

∴OM2=2

又OM≥OM2=2

又∵OD=2

∴OM>OD

∴在AC上不存在点M,使OM=OD

所以M点的坐标为（－1，－3）或（－2,－2）．