题目内容
【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于A、B,且点B的坐标为(2,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2) 若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值;
(3) 若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD是等腰三角形,求M点的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2+x-4;
(2)△PCE面积的最大值为3;
(3)M点的坐标为(-1,-3)或(-2,-2).
【解析】试题分析:本题主要考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形。
(1)将点A的坐标和点B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求得该抛物线的解析式。
(2)将y=0代入抛物线的解析式中,得到点A的坐标,因为PE//AC,所以∠BPE=∠BAC,∠BEP=∠BCA,则△BPE∽△BAC,由相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质求得△PCE的面积方程,即可求得△PCE面积的最大值。
(3)根据题意,分类讨论△OMD为等腰三角形的情况,①当OD=DM时,因为点D为OA的中点,所以△ADM为等腰三角形,因为OA=OC,且∠AOC=90,所以△AOC为等腰直角三角形,即可求得点M的坐标。②当DM=OM时,过点M作AB的垂线交于N点,连接MN,因为MN⊥AB,由等腰三角形的性质可知,MN是△OMD的中线,所以ON=DN=1,设为y=kx+b,将点A的坐标和点C的坐标代入上式得直线AC的解析式,则将x=1代入直线AC的解析式中,即可求得点M的坐标。③当DO=OM时,OM最小为点O到AC的距离,因为△AOC为等腰直角三角形,即可证明DO=OM不成立。
试题解析:(1)把点C(0,-4),B(2,0)分别代入y=x2+bx+c中,
c=-4
×22+2b+c=0
∴b=1
∴y=x2+x-4
(2)设P点坐标为(x,0),则BP=2-x,
∵x2+x-4=0 得x1=2,x2=4
∴A点坐标为(-4,0)
∴S△ABC =AB·OC=×6×4=12
∵PE∥AC
∴∠BPE =∠BAC ,∠BEP =∠BCA
∴△BPE∽△BAC…
∴ =()2 即=
所以S△BPE = (2-x)2
又∵S△BCP = (2-x) ×4=2(2-x)
∴ S△PCE =S△BCP -S△BPE =2(2-x)- (2-x)2 =-x2 -x+=- (x+1)2+3
∴x=-1时△PCE面积的最大值是3.
(3)当MO=MD时,过M作MM1⊥OD,垂足为M1,则M1为OD的中点
∴OM1=DM1=1
又∵∠OAC =45°
∴M1M=M1A=3
∴M点的坐标为(-1,-3)
当DM=DO时,
DO=DM=DA=2
∴∠OAC =∠AMD=45°
∴∠ADM =90°
∴M点的坐标为(-2,-2)
当OM=OD时,过O作OM2⊥AC,垂足为M2,
∵OA =4
∴OM2=2
又OM≥OM2=2
又∵OD=2
∴OM>OD
∴在AC上不存在点M,使OM=OD
所以M点的坐标为(-1,-3)或(-2,-2).