Question

【题目】在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．

（1）感知：如图①，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；
（2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE∽△ECF；
（3）应用：如图③，若EF交AB边于点F，其他条件不变，且△PEF的面积是3，则AP的长为 ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：感知：如图①，∵四边形ABCD为矩形，

∴∠D=∠C=90°，

∴∠DAE+∠DEA=90°，

∵EF⊥AE，

∴∠AEF=90°，

∴∠DEA+∠FEC=90°，

∴∠DAE=∠FEC，

∵DE=1，CD=4，

∴CE=3，

∵AD=3，

∴AD=CE，

∴△ADE≌△ECF（ASA）

（2）

探究：如图②，∵四边形ABCD为矩形，

∴∠D=∠C=90°，

∴∠DPE+∠DEP=90°，

∵EF⊥PE，

∴∠PEF=90°，

∴∠DEP+∠FEC=90°，

∴∠DPE=∠FEC，

∴△PDE∽△ECF

（3）2
【解析】（3）应用：如图③，过F作FG⊥DC于G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴FG=BC=3，
∵PE⊥EF，
∴S△PEF= PEEF=3，
∴PEEF=6，
同理得：△PDE∽△EGF，
∴ ，
∴ ，
∴EF=3PE，
∴3PE2=6，
∴PE= ，
∵PE＞0，
∴PE= ，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD=1，
∴AP=AD﹣PD=3﹣1=2，
所以答案是：2．

【考点精析】本题主要考查了相似图形和相似三角形的应用的相关知识点，需要掌握形状相同，大小不一定相同（放大或缩小）;判定:①平行；②两角相等；③两边对应成比例，夹角相等；④三边对应成比例；测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能正确解答此题．