题目内容
【题目】如图四边形ABCD是菱形,且∠ABC=60,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM,则下列五个结论中正确的是( )
①若菱形ABCD的边长为1,则AM+CM的最小值1;
②△AMB≌△ENB;
③S四边形AMBE=S四边形ADCM;
④连接AN,则AN⊥BE;
⑤当AM+BM+CM的最小值为2 时,菱形ABCD的边长为2.
A.①②③
B.②④⑤
C.①②⑤
D.②③⑤
【答案】C
【解析】解:①连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,BD⊥AC,AO=BO
∴点A,点C关于直线BD对称,
∴M点与O点重合时AM+CM的值最小为AC的值
∵∠ABC=60,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,
∵AB=1,
∴AC=1,
即AM+CM的值最小为1,故本答案正确.
②∵△ABE是等边三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠MBN﹣∠ABN=∠ABE﹣∠ABN.
即∠MBA=∠NBE.
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS),故本答案正确.
③∵S△ABE+S△ABM=S四边形AMBE
S△ACD+S△AMC=S四边形ADCM , 且S△AMB≠S△AMC ,
∴S△ABE+S△ABM≠S△ACD+S△AMC ,
∴S四边形AMBE≠S四边形ADCM , 故本答案错误.
④假设AN⊥BE,且AE=AB,
∴AN是BE的垂直平分线,
∴EN=BN=BM=MN,
∴M点与O点重合,
∵条件没有确定M点与O点重合,故本答案错误.
⑤如图,连接MN,由(1)知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN,
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等边三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.(10分)
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,
∴∠EBF=180°﹣120°=60°,设菱形的边长为x,
∴BF= x,EF=
x,在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2 ,
∴ +
=
,解得x=2,故本答案正确.
综上所述,正确的答案是:①②⑤,
故选C.
(1)连接AC,根据“两点之间线段最短”,可得,当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小;(2)由题意得MB=NB,∠ABN=30°,所以∠EBN=30°,容易证出△AMB≌△ENB;(3)连接AC,可以得到S△ABE=S△ADC , S△AMB≠S△AMC , 从而可以得出结论.(4)假设AN⊥BE,根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质得出EN=BN,从而得出结论.(5)根据“两点之间线段最短”,当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长,(如图)作辅助线,过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,由题意求出∠EBF=60°,设菱形的边长为x,在Rt△EFC中,根据勾股定理求得菱形的边长.
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【题目】八(2)班组织了一次经典朗读比赛,甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表(10分制):
甲 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
乙 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
(1)甲队成绩的中位数是分,乙队成绩的众数是分;
(2)计算乙队的平均成绩和方差;
(3)已知甲队成绩的方差是1.4分2 , 则成绩较为整齐的是队.
【题目】甲、乙两名队员参加射击训练,成绩分别被制成下列两个统计图:
根据以上信息,整理分析数据如下:
平均成绩/环 | 中位数/环 | 众数/环 | 方差 | |
甲 | a | 7 | 7 | 1.2 |
乙 | 7 | b | 8 | c |
(1)写出表格中a,b,c的值;
(2)分别运用表中的四个统计量,简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛,你认为应选哪名队员?