Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．

（1）求∠ABC的度数；
（2）如果 ，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，

∴AD=DB，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∴AD=DB=AB，

∴△ABD为等边三角形．

∴∠DAB=60°．

∵菱形ABCD的边AD∥BC，

∴∠ABC=180°﹣∠DAB=180°﹣60°=120°，

即∠ABC=120°

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC于O，AO= AC= ×4 =2 ，

由（1）可知DE和AO都是等边△ABD的高，

∴DE=AO=2

【解析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，然后求出AB=AD=BD，从而得到△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出△DAB=60°，然后根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；（2）根据菱形的对角线互相平分求出AO，再根据等边三角形的性质可得DE=AO．