题目内容
【题目】在△AOB中,C,D分别是OA,OB边上的点,将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′.
(1)如图1,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点,证明:①AC′=BD′;②AC′⊥BD′;
(2)如图2,若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ,CD∥AB,AC′与BD′交于点E,猜想∠AEB=θ是否成立?请说明理由.
【答案】
(1)
证明:①∵△OCD旋转到△OC′D′,∴OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,∵OA=OB,C、D为OA、OB的中点,∴OC=OD,∴OC′=OD′,
在△AOC′和△BOD′中,,∴△AOC′≌△BOD′(SAS),∴AC′=BD′
②延长AC′交BD′于E,交BO于F,如图1所示:∵△AOC′≌△BOD′,∴∠OAC′=∠OBD′,又∠AFO=∠BFE,∠OAC′+∠AFO=90°,∴∠OBD′+∠BFE=90°,
∴∠BEA=90°,∴AC′⊥BD′
(2)
解:∠AEB=θ成立,理由如下:如图2所示:∵△OCD旋转到△OC′D′,∴OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,∵CD∥AB,∴,
∴,∴,又∠AOC′=∠BOD′,∴△AOC′∽△BOD′,∴∠OAC′=∠OBD′,又∠AFO=∠BFE,∴∠AEB=∠AOB=θ.
【解析】(1)①由旋转的性质得出OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,证出OC′=OD′,由SAS证明△AOC′≌△BOD′,得出对应边相等即可;
②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′,又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°,即可得出结论;
(2)由旋转的性质得出OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,由平行线得出比例式,得出,证明△AOC′∽△BOD′,得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识,掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方,以及对旋转的性质的理解,了解①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了.