题目内容

【题目】如图,点P是⊙O外一点,PA切⊙O于点AAB是⊙O的直径,连接OP,过点BBCOP交⊙O于点C,连接ACOP于点D

1)求证:PC是⊙O的切线;

2)若PD=cmAC=8cm,求图中阴影部分的面积;

3)在(2)的条件下,若点E是弧AB的中点,连接CE,求CE的长.

【答案】(1)证明见解析;

(2)阴影部分的面积为

(3)CE的长是

【解析】(1)连接OC,证明△PAO≌△PCO,得到∠PAO=∠PCO=90 ,证明结论;

(2)证明△ADO∽△PDA,得到成比例线段求出BC的长,根据S=S半⊙OSACB求出答案;

(3)连接AEBE过点BBMCE于点M,分别求出CM和EM的长,求和得到答案.

证明: ⑴如图,连接OC

PA切⊙OA

∴∠PAO=90.

OPBC

∴∠AOP=∠OBC,∠COP=∠OCB

OC=OB

∴∠OBC=∠OCB

∴∠AOP=∠COP

又∵OA=OCOP=OP

∴△PAO≌△PCO (SAS).

∴∠PAO=∠PCO=90 ,

又∵OC是⊙O的半径,

PC是⊙O的切线.

⑵解法一:

由(1)得PAPC都为圆的切线,

PA=PCOP平分∠APC,∠ADO=∠PAO=90 ,

∴∠PAD+DAO=∠DAO+AOD

∴∠PAD =∠AOD

∴△ADO∽△PDA

AC=8, PD=

AD=AC=4,OD=3,AO=5,

由题意知OD为△ABC的中位线,

BC=2OD=6,AB=10.

S=S半⊙OSACB=

答:阴影部分的面积为

解法二:

AB是⊙O的直径,OPBC

∴∠PDC=∠ACB=90.

∵∠PCO=90 ,

∴∠PCD+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90 ,

即∠PCD=∠OCB

又∵∠OBC =∠OCB

∴∠PCD=∠OBC

∴△PDC∽△ACB

又∵AC=8, PD=

AD=DC=4,PC=

CB=6,AB=10,

S=S半⊙O-SACB=

答:阴影部分的面积为

(3)如图,连接AEBE过点BBMCE于点M.

∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90,

又∵点E的中点,

∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45,CM=MB =BE=ABcos45=

EM=

CE=CM+EM=

“点睛”本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和相似三角形的判定和性质,灵活运用切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键.

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