Question

如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．

（1）若AE=2，求EF的长；
（2）求证：PF=EP+EB．

Answer 1

（1）；（2）证明见试题解析．

试题分析：（1）如图由已知就可以得出∠EAF=∠DAB=90°，AB=AD，可以得出∠1=∠2，由对顶角可以得出∠5=∠6，从而可以证明△AEB≌△AFD，可以求得AE=AF，再利用勾股定理就可以求出EF的值；
（2）如图，过点A作AM⊥EF于M，由（1）可知△AEF是等腰直角三角形，可以得出∠AME=90°，由已知可以证明△BEP≌△AMP，可以得出BE=AM，EP=MP，进而求出结论．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，∴AB=AD，BAD=∠EAF=∠BEF=90°，∴∠1+∠FAB=∠2+∠FAB=90°，∴∠1=∠2．∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，∴∠3=∠4．在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF=2，在Rt△EAF中，由勾股定理，得：EF=．
（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，∴△EAF为等腰直角三角形．∴AM=MF=EM，∠AME=∠BEF=90°．∵点P是AB的中点，∴AP=BP．在△AMP和△BEP中，∵，∴△AMP≌△BEP，∴BE=AM，EP=MP，∴MF=BE，∴PF=PM+FM=EP+BE．