题目内容
【题目】已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.
（1）如图1，连接AF、CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿着A→F→B→A匀速运动，Q点沿着C→D→E→C匀速运动，在运动过程中：
① 已知点P的速度为10cm/s，点Q的速度为8cm/s，运动时间为t秒，问当t为何值时，点A，C，P，Q组成的四边形为平行四边形？
② 点P，Q的运动路程分别为a，b（单位：cm，ab≠0），问当a，b满足怎样的关系式时，点A，C，P，Q组成的四边形为平行四边形？
【答案】（1）四边形AFCE为菱形，见解析；（2）①t=
s ；②a与b满足的数量关系式是a+b=24（ab≠0）
【解析】
（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；
（2）①分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分3种情况讨论，分别得出a+b=24，即可得出答案．
（1）四边形AFCE为菱形
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE
∵EF垂直平分AC
∴OA=OC
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF
∴四边形AFCE为平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE为菱形
（2）解：①当P点在AF上时，Q点在CD上，
此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒10cm，点Q的速度为每秒8cm，运动时间为t秒
∴PC=CF+FP=AF+FP=10t，QA=24﹣8t
∴10t=24﹣8t
∴t=s
②由题意得，四边形APCO是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：
（i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，
AP=CQ，即a=24﹣b，得a+b=24
（ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，
AQ=CP，即24﹣b=a，得a+b=24
（iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，
AP=CQ，即24﹣a=b，得a+b=24
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=24（ab≠0）
