Question

【题目】如图，在中，，，是边上一动点，过点作于点．连接，与关于所在的直线对称，且所在的直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．若点到的斜边和一条直角边的距离恰好相等，则的长为__________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分类讨论，①当点在的平分线上时，点落在边上，过点作于点，过点作于点，设，则，，再证，根据相似比求出x，再根据，用相似比求出CH的长；②当点在的平分线上时，点落在的延长线上，过点作于点，设，根据，用相似比解出a，即可求出CH的长.

根据题意，得，，，

①当点在的平分线上时，

点落在边上，过点作于点，过点作于点，如解图1所示，

∴，，，

∴，，

在中，，

∴，，

∵，

∴，

设，则，，

∴，

∵与关于所在的直线对称，

∴，

∴，，，

∵，，

∴，

∴，即，解得，

∴，，

在中，，，

∴，，

∴，

∵，

∴，即，解得；

②当点在的平分线上时，

点落在的延长线上，过点作于点，如解图2所示，

设，

∵点在的平分线上，

∴，

∴，

∵，

∴，即，解得，

∴，

综上所述，的长为或，

故答案为或.