Question

【题目】如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点.

（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCO为矩形，

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．

由题意，得△BDC≌△EDC．

∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．

由勾股定理易得EO=6．

∴AE=10﹣6=4，

设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．

∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0,0,）

∴ 解得 ∴抛物线的解析式为：y= x2+ x．

（2）

∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．

而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．

当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC， ∴ ，即 ， 解得t= ． 当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC， ∴ ，即 ， 解得t= ． ∴当t= 或 时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．

（3）

解：假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点； 则：M（4， ）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4， ）； ②EC为平行四边形的边，则EC//MN，EC =MN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）； 将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时 N（4，﹣38）、

M（﹣4，﹣32）；

将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；

综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为： ①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38） ②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26） ③M3（4， ），N3（4， ）．

【解析】（1）根据折叠性质得EC=BC，从而可解出OE，设AD=x，则ED=8-x，由勾股定理可得AD2+AE2=ED2 ， 构造方程解出x的值，从而可得D的坐标，将D的坐标，C的坐标，O的坐标代入抛物线可求出；（2）易求得∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．可设CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．分类讨论：当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，与当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC；分别写出边的关系，可求出t；（3）分类讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；从而可求出点M的坐标；②EC为平行四边形的边，则EC//MN，EC =MN，设N（4，m），根据E到C的平移关系与M、N的平移关系相同，可得M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；将点M代入抛物线解析式，从而解出m的值.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．