Question

（2012•广安）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线．
（2）若BC=2

5

，sin∠BCP=

5

5

，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

Answer 1

分析：（1））根据∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线．
（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用sin∠BCP=sin∠DBC=

DC

BC

=

DC

2 5

=

5

5

，求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4．
（3）先求出AC的长度，然后利用BD∥PC的比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长．

解答：解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
∴2∠BCP+2∠BCA=180°，
∴∠BCP+∠BCA=90°，
∴直线CP是⊙O的切线．

（2）如右图，作BD⊥AC于点D，
∵PC⊥AC
∴BD∥PC
∴∠PCB=∠DBC
∵BC=2

5

，sin∠BCP=

5

5

，
∴sin∠BCP=sin∠DBC=

DC

BC

=

DC

2 5

=

5

5

，
解得：DC=2，
∴由勾股定理得：BD=4，
∴点B到AC的距离为4．

（3）如右图，连接AN，
∵AC为直径，
∴∠ANC=90°，
∴Rt△ACN中，AC=

CN

cos∠ACN

=

CN

sin∠BCP

=

5

5 5

=5，
又CD=2，
∴AD=AC-CD=5-2=3．
∵BD∥CP，
∴

BD

CP

=

AD

AC

，
∴CP=

20

3

．
在Rt△ACP中，AP=

AC2+CP2

=

25

3

，
AC+CP+AP=5+

20

3

+

25

3

=20，
∴△ACP的周长为20．

点评：本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大．