Question

（2012•广安）如图，已知双曲线y=

k

x

和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，-3），AC垂直y轴于点C，AC=

3

2

．
（1）求双曲线和和直线的解析式．
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）把点B的坐标代入双曲线解析式，利用待定系数法求函数解析式解答；根据AC=

3

2

可得点A的横坐标，然后求出点A的坐标，再利用待定系数法求函数解析式求解直线的解析式；
（2）设直线与x轴的交点为D，利用直线的解析式求出点D的坐标，从而得到OD的长度，再根据S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵点B（2，-3）在双曲线上，
∴

k

2

=-3，
解得k=-6，
∴双曲线解析式为y=-

6

x

，
∵AC=

3

2

，
∴点A的横坐标是-

3

2

，
∴y=-

6

- 3 2

=4，
∴点A的坐标是（-

3

2

，4），
∴

- 3 2 m+n=4 2m+n=-3

，
解得

m=-2 n=1

，
∴直线的解析式为y=-2x+1；

（2）如图，设直线与x轴的交点为D，
当y=0时，-2x+1=0，
解得x=

1

2

，
所以，点D的坐标为（

1

2

，0），
∴OD=

1

2

，
S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×

1

2

×4+

1

2

×

1

2

×3=1+

3

4

=

7

4

．

点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=

k

x

中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．