Question

如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；
（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．

Answer 1

（1）抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣8，顶点D的坐标为（1，﹣9）；
（2）点P的坐标为（2，﹣8）；
（3）要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，抛物线向上最多平移个单位长度，向下最多平移72个单位长度．

解析试题分析：（1）由于抛物线与x轴的两个交点已知，抛物线的解析式可设成交点式：y=a（x+2）（x﹣4），然后将点C的坐标代入就可求出抛物线的解析式，再将该解析式配成顶点式，即可得到顶点坐标．
（2）先求出直线CD的解析式，再求出点E的坐标，然后设点P的坐标为（m，n），从而可以用m的代数式表示出PM、EF，然后根据PM=EF建立方程，就可求出m，进而求出点P的坐标．
（3）先求出点M的坐标，然后设平移后的抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣8+c，然后只需考虑三个临界位置（①向上平移到与直线EM相切的位置，②向下平移到经过点M的位置，③向下平移到经过点E的位置）所对应的c的值，就可以解决问题．
试题解析：（1）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4）．
∵点C（0，﹣8）在抛物线y=a（x+2）（x﹣4）上，
∴﹣8a=﹣8．
∴a=1．
∴y=（x+2）（x﹣4）=x²﹣2x﹣8=（x﹣1）²﹣9．
∴抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣8，顶点D的坐标为（1，﹣9）；
（2）如图，

设直线CD的解析式为y=kx+    B．
∴
解得： ．
∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．
当y=0时，﹣x﹣8=0，
则有x=﹣8．
∴点E的坐标为（﹣8，0）．
设点P的坐标为（m，n），
则PM=（m²﹣2m﹣8）﹣（﹣m﹣8）=m²﹣m，EF=m﹣（﹣8）=m+8．
∵PM=EF，
∴m²﹣m=（m+8）．
整理得：5m²﹣6m﹣8=0．
∴（5m+4）（m﹣2）=0
解得：m₁=﹣，m₂=2．
∵点P在对称轴x=1的右边，
∴m=2．
此时，n=2²﹣2×2﹣8=﹣8．
∴点P的坐标为（2，﹣8）；
（3）当m=2时，y=﹣2﹣8=﹣10．
∴点M的坐标为（2，﹣10）．
设平移后的抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣8+c，
①若抛物线y=x²﹣2x﹣8+c与直线y=﹣x﹣8相切，
则方程x²﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即x²﹣x+c=0有两个相等的实数根．
∴（﹣1）²﹣4×1×c=0．
∴c=．
②若抛物线y=x²﹣2x﹣8+c经过点M，
则有2²﹣2×2﹣8+c=﹣10．
∴c=﹣2．
③若抛物线y=x²﹣2x﹣8+c经过点E，
则有（﹣8）²﹣2×（﹣8）﹣8+c=0．
∴c=﹣72．
综上所述：要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，抛物线向上最多平移个单位长度，向下最多平移72个单位长度．
考点：二次函数综合题．