Question

已知二次函数的图像经过点A（6,0）、B（-2,0）和点C（0，-8）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，求K的坐标；
（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线按O-A-C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线按O-C-A的路线运动，当P、Q两点相遇时它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S；
①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
② 请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

备用图

 

Answer 1

（1）二次函数的解析式为y= x²﹣x﹣8；
（2）点K的坐标为（，0）；
(3) ①不存在PQ∥OC，理由见解析；
②分情况讨论如下，
当0≤t≤1时，S=12t²；
当1＜t≤2时，S=﹣+；
当2＜t＜时，S=-.

解析试题分析：（1）由待定系数法即可得到；
由于CM的长度是定值，因此要想△KCM的周长最小，只需KM+KC的值最小即可，因此要找到点C关于X轴的对称点C‘，连接MC’，则MC‘与X轴的交点即为所求；
①可假设PQ∥OC，此时，1＜t ＜2，则可得△APQ∽△AOC，由相似推得t=与1＜t ＜2矛盾，从而确定不存在PQ∥OC
②分0≤t≤1、1＜t≤2、2＜t＜三种情况进行求解.
试题解析：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x﹣6）（a≠0），
∵图象过点（0，﹣8），
∴a=.
∴二次函数的解析式为y= x²﹣x﹣8；
（2）∵y = x²﹣ x﹣8=（x²﹣4x+4﹣4）﹣8=（x﹣2）²﹣,
∴点M的坐标为（2，﹣）.
∵点C的坐标为（0，﹣8），
∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8）.
∴直线C′M的解析式为：y=﹣ x+8
令y=0
得﹣x+8=0
解得：x=
∴点K的坐标为（，0）；
(3) ①不存在PQ∥OC，
若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，
此时，1＜t ＜2
∵PQ∥OC，
∴△APQ∽△AOC
∴
∵AP=6﹣3t
AQ=18﹣8t，
∴
∴t=
∵t=＞2不满足1＜t＜2；
∴不存在PQ∥OC；
②分情况讨论如下，
当0≤t≤1时
S=OP•OQ=×3t×8t=12t²；
当1＜t≤2时
作QE⊥OA，垂足为E，
S=OP•EQ=×3t×=﹣+
当2＜t＜时
作OF⊥AC，垂足为F，则OF=
S=QP•OF=×（24﹣11t）×=-.

考点：1、待定系数法；2、反证法；3、线段的性质；4、分类讨论.