Question

如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为E、F．

(1)计算：AD=           ，（2分）EF=            （2分）（用含a的式子表示）；
(2)求证：DE=DF．（6分）

Answer 1

(1)，；（2）证明详见解析.

试题分析：此题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键所在．（1）由三角形ABC为等边三角形，得到AB=AC=BC=a，由D为BC的中点，可得：，利用三线合一得到AD⊥BC,利用勾股定理求出AD的长；由∠B=60°，DE垂直于AB，得到∠EDB=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出,同理可得，所以AE=AF，进而可得等边三角形AEF。而AE=AB-BE，即可求出EF的长。
（2）由AD为角平分线，且DE垂直于AB，DF垂直于AC，利用角平分线定理即可得到DE=DF．
试题解析：
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=a，∠B=60°，
又D为BC的中点，
∴
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：

∵在，
∴
∴，同理可得：
∴AB-BE=AC-CF
即：AE=AF
∴△AEF是等边三角形.
∴AE=EF=AF
∵
∴
（2）∵D为BC的中点，AB=AC=BC
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．