Question

【题目】如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式；
②当S最大时，在抛物线y=﹣ x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：将A、C两点坐标代入抛物线，得

，

解得： ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+8

（2）解：①∵OA=8，OC=6，

∴AC= =10，

过点Q作QE⊥BC与E点，

则sin∠ACB= = = ，

∴ = ，

∴QE= （10﹣m），

∴S= CPQE= m× （10﹣m）=﹣ m2+3m；

②∵S= CPQE= m× （10﹣m）=﹣ m2+3m=﹣ （m﹣5）2+ ，

∴当m=5时，S取最大值；

在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，

∵抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+8的对称轴为x= ，

D的坐标为（3，8），Q（34），

当∠FDQ=90°时，F1（ ，8），

当∠FQD=90°时，则F2（ ，4），

当∠DFQ=90°时，设F（ ，n），

则FD2+FQ2=DQ2，

即 +（8﹣n）2+ +（n﹣4）2=16，

解得：n=6± ，

∴F3（ ，6+ ），F4（ ，6﹣ ），

满足条件的点F共有四个，坐标分别为

F1（ ，8），F2（ ，4），F3（ ，6+ ），F4（ ，6﹣ ）．

【解析】（1）将A、C两点坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，接下来，解方程求得b、c的值，从而可求得抛物线的解析式；
（2）①先依据勾股定理求得AC的长，从而可表示CQ的长，然后过点Q作QE⊥BC与E点，依据锐角三角函数的定义可求得QE的长，然后依据三角形的面积公式可得到S与m的函数关系式；②先依据函数关系式求得当S最大值是m的值，从而可确定出点Q的坐标，然后再求得抛物线的对称轴从而得到点F的横坐标，然后再分为∠FDQ=90°，∠FQD=90°、∠DFQ=90°三种情况求得点F的纵坐标即可.