题目内容
【题目】如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式;
②当S最大时,在抛物线y=﹣ x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:将A、C两点坐标代入抛物线,得
,
解得: ,
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+8
(2)解:①∵OA=8,OC=6,
∴AC= =10,
过点Q作QE⊥BC与E点,
则sin∠ACB= = = ,
∴ = ,
∴QE= (10﹣m),
∴S= CPQE= m× (10﹣m)=﹣ m2+3m;
②∵S= CPQE= m× (10﹣m)=﹣ m2+3m=﹣ (m﹣5)2+ ,
∴当m=5时,S取最大值;
在抛物线对称轴l上存在点F,使△FDQ为直角三角形,
∵抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+8的对称轴为x= ,
D的坐标为(3,8),Q(34),
当∠FDQ=90°时,F1( ,8),
当∠FQD=90°时,则F2( ,4),
当∠DFQ=90°时,设F( ,n),
则FD2+FQ2=DQ2,
即 +(8﹣n)2+ +(n﹣4)2=16,
解得:n=6± ,
∴F3( ,6+ ),F4( ,6﹣ ),
满足条件的点F共有四个,坐标分别为
F1( ,8),F2( ,4),F3( ,6+ ),F4( ,6﹣ ).
【解析】(1)将A、C两点坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组,接下来,解方程求得b、c的值,从而可求得抛物线的解析式;
(2)①先依据勾股定理求得AC的长,从而可表示CQ的长,然后过点Q作QE⊥BC与E点,依据锐角三角函数的定义可求得QE的长,然后依据三角形的面积公式可得到S与m的函数关系式;②先依据函数关系式求得当S最大值是m的值,从而可确定出点Q的坐标,然后再求得抛物线的对称轴从而得到点F的横坐标,然后再分为∠FDQ=90°,∠FQD=90°、∠DFQ=90°三种情况求得点F的纵坐标即可.