题目内容

【题目】已知:如图,在菱形中,点分别为的中点,连接

求证:

满足什么关系时,四边形是正方形?请说明理由.

【答案】见解析

【解析】

(1)由菱形的性质得出∠BDABBCDCAD,由已知和三角形中位线定理证出AEBEDFAFOFDCOEBCOEBC,由(SAS)证明BCE≌△DCF即可;
(2)由(1)得:AEOEOFAF,证出四边形AEOF是菱形,再证出∠AEO=90°,四边形AEOF是正方形.

(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,

∴∠BDABBCDCAD

∵点EOF分别为ABACAD的中点,

AEBEDFAF,OFDC,OEBC,OEBC

BCEDCF,

∴△BCE≌△DCF(SAS);

(2)ABBC时,四边形AEOF是正方形,理由如下:

(1)得:AEOEOFAF

∴四边形AEOF是菱形,

ABBC,OEBC

OEAB

∴∠AEO=90°,

∴四边形AEOF是正方形.

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