Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若BD＝3，AD＝4，则DE＝ ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，如图，先证明OD∥AE，再利用DE⊥AE得到OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）证明△ABD∽△ADE，通过线段比例关系求出DE的长.

（1）证明：连接OD

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠DAC

∵OA＝OD

∴∠BAD＝∠ODA

∴∠ODA＝∠DAC

∴OD∥AE

∴∠ODE＋∠E＝180°

∵DE⊥AE

∴∠E＝90°

∴∠ODE＝180°－∠E＝180°－90°＝90°，即OD⊥DE

∵点D在⊙O上

∴DE是⊙O的切线.

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAE，

在△ABD和△ADE中，

，

∴△ABD∽△ADE，

∴,

∵BD＝3，AD＝4，AB==5

∴DE==.